Temario

• Complejos:
  • El cuerpo de los números complejos.
  • La forma exponencial y la fórmula de Euler. Potencias y raíces.
  • Interpretación geométrica del producto de números complejos.
• Polinomios:
  • Primeras definiciones.
  • División entera de polinomios.
  • MCD y MCM.
  • Raíces de un polinomio.
  • Polinomios irreducibles.
  • Fracciones racionales.
• Espacios Vectoriales:
  • Ev.
  • Cl y sev.
  • Vectores li, vectores generadores, bases y dimensiones.
  • Coordenadas en una base.
  • Cambios de base.
  • Método para extraer una base de unos generadores
  • Método para ampliar unos vectores li a una base.
  • Métodos para pasar de bases a ecuaciones y de ecuaciones a bases.
  • Sumas e intersecciones de sev.
  • Sumas directas y sev complementarios.
  • Métodos para calcular sumas, intersecciones y complementarios.
• Matrices:
  • Introducción.
  • Matrices cuadradas.
  • Operaciones con matrices.
  • Rango de una matriz.
  • Sistemas matriciales.
  • El teorema de Rouché.
  • El método de Gauss para resolver sistemas.
  • Matrices invertibles.
• Aplicaciones Lineales:
  • Primeras definiciones.
  • Ejemplos de aplicaciones lineales.
  • Comentarios sobre dimensiones.
  • Determinación de aplicaciones lineales.
  • Matriz de una aplicación lineal.
  • Cambios de base.
  • Cálculo de núcleos, imágenes, anti-imágenes y rangos.
  • Suma, composición e inversión de aplicaciones lineales.
  • Sev invariantes.
• Determinantes:
  • Determinantes de matrices cuadradas.
  • El método de Gauss para calcular determinantes.
  • El determinante de Vandermonde.
  • Métodos para calcular rangos, resolver sistemas e invertir matrices.
  • El determinante de n vectores.
  • El determinante de un endomorfismo.
• Diagonalización:
  • Ejemplos introductorios.
  • Diagonalización de matrices versus diagonalización de endomorfismos.
  • El polinomio característico. VAPs y VEPs.
  • El criterio de diagonalización.
  • El algoritmo de diagonalización.
  • Trucos.
• Jordan:
  • Ejemplo introductorio.
  • Bloques de Jordan, matrices de Jordan y bases de Jordan.
  • Jordan de matrices versus Jordan de endomorfismos.
  • Sev invariantes, restricciones y diagonalización por bloques.
  • El polinomio mínimo.
  • Primer teorema de descomposición.
  • Segundo teorema de descomposición.
  • El algoritmo de Jordan.
  • Trucos.
  • Cálculo de sev invariantes.
  • Equivalencia de matrices o endomorfismos.

Evaluación

• Prueba(s) parcial(es):
  • Es un 10% de la nota final.
  • Consiste en una prueba corta que se realiza, en condiciones normales, en horas de clase.
  • Es responsabilidad de los profesores de problemas.
• Test parcial:
  • Es un 10% de la nota final.
  • Es un test cerrado con diez preguntas de una hora de duración que tendrá lugar el 30 de octubre de 2007 a las 9:30.
  • Los temas que se preguntan en este test son Complejos, Polinomios y (quizás tan sólo una parte de) Espacios Vectoriales.
  • Se puede consultar un formulario manuscrito que cada cual debe hacerse. Máxima extensión: 1 hoja.
  • No se puede llevar calculadora.
  • Se puede recuperar con la nota del examen final.
• Examen final:
  • Proporciona el restante 80% de la nota final.
  • Tendrá lugar la mañana del 21 de enero de 2008 a las 17 horas.
  • Consiste en una prueba de unas tres horas, con un test, una parte teórica y otra práctica.
  • Se pregunta todo el temario de la asignatura.
  • En parte teórica no se puede llevar ni calculadora ni formulario.
  • En el test y en la parte práctica se puede consultar el formulario manuscrito, pero no se permite usar calculadora.

Bibliografía

• Mis apuntes. Los que llevo a clase, aunque quizás sean demasiado compactos. Gratuitos, por supuesto.
  Son útiles por dos razones. En primer lugar, para detectar errores en vuestros apuntes. Mi experiencia me dice que suelen tener bastantes errores. En segundo lugar, para saber qué voy a explicar en la próxima clase. Leerlos antes de la clase es algo muy, muy recomendable. De verdad. En cambio, no sirven ni para repasar las demostraciones (no hay) ni para estudiar cosas nuevas (tampoco hay). Finalmente, quiero dejar absolutamente claro que debeis tomar vuestros propios apuntes. No hacerlo sería un primer paso hacia el fracaso en esta asignatura (o en cualquier otra).
  Mis apuntes están divididos en los ocho capítulos del temario dado arriba y se pueden obtener por separado. Están en el formato Portable Document Format (PDF) de Adobe Acrobat. Es un formato estándar que se puede visualizar e imprimir con el visor Acrobat Reader. El visor es gratuito.
  • Complejos (2 páginas).
  • Polinomios (4 páginas).
  • Espacios Vectoriales (9 páginas).
  • Matrices (6 páginas).
  • Aplicaciones Lineales (8 páginas).
  • Determinantes (2 páginas).
  • Diagonalización (4 páginas).
  • Jordan (6 páginas).
  También podeis obtener los ocho capítulos juntos, en el librito Breves Apuntes de Álgebra Lineal (vi+48 páginas).
• Material de examen. He preparado una recopilación actualizada con más de trescientas preguntas y más de cincuenta problemas clasificados por temas que han aparecido a lo largo de los últimos años en diversos tests (tanto parciales como finales), pruebas de evaluación continuada y exámenes finales.
  Existen dos versiones. La primera sólo contiene los enunciados. En la segunda, cada pregunta va seguida de su respuesta. No existe una versión con las soluciones de los problemas.
  Este año hemos eliminado del programa la sección del espacio cociente, pero no he tenido tiempo de quitar los problemas afectados de la recopilación. Cada vez que veais el símbolo / podeis saltaros esa parte.
  • Material de Examen de Álgebra Lineal (Versión sin respuestas).
  • Material de Examen de Álgebra Lineal (Versión con respuestas).
  Existe otra recopilación de exámenes con los problemas resueltos en la página web de la asignatura.
• Clases en video. El Massachusetts Institute of Technology, uno de los centros de investigación más prestigiosos del mundo, ha publicado en su web las clases del Profesor Gilbert Strang filmadas en video. El temario presenta algunas diferencias y Gilbert Strang habla en inglés, pero sus clases son muy buenas.
• Libros electrónicos. Libros disponibles de forma gratuita en la red y escritos con voluntad de servicio a la comunidad.
  Estos libros suelen cambiar (se supone que a mejor) con el paso del tiempo, pues su formato permite que el autor efectúe modificaciones en cualquier momento.
  A modo de ejemplo, podeis consultar los siguientes.
  • Rafel Amer Ramon y varios coautores han escrito un amplio material para la asignatura de Álgebra Lineal de la ETSEIT (Terrasa).
    • Curs d'Àlgebra Lineal. Septiembre de 2003.
      Son unos apuntes de 180 páginas sobre un temario que contiene varios puntos comunes con el nuestro. Falta el tema de Jordan y sobran los temas de geometría que ya se verán en la correspondiente asignatura del segundo cuatrimestre.
    • Àlgebra Lineal (Problemes resolts). Septiembre de 2005.
      Es un colección de problemas estándar resueltos con todo detalle de 213 páginas. Muy útil para practicar.
    • Àlgebra Lineal (Problemes, exercisis i qüestions). Septiembre de 2003.
      Es una colección de enunciados de problemas, ejercicios y cuestiones teóricas de 132 páginas. Las soluciones de los problemas aparecen al final.
  • Jaume Amorós. Àlgebra Lineal (Enginyeria Química). Octubre de 2002.
    Son unas notas de unas 150 páginas escritas para la asignatura de Álgebra Lineal de los Ingenieros Químicos de esta escuela. Con demostraciones. Su temario es similar al nuestro, salvo el último tema (ellos dan geometría y nosotros Jordan). También vale la pena visitar la página web de Jaume Amorós, que contiene varias listas de problemas (con las soluciones) diferentes de las listas de los ingenieros industriales.
  • Jim Hefferon. Linear Algebra. Junio de 2006.
    Son dos libros muy recomendables en la lengua de Shakespeare. El que algo quiere, algo le cuesta. El primer libro (de unas 450 páginas) desarrolla la teoría habitual y plantea muchos ejercicios, que son resueltos en el segundo libro (con más de 200 páginas). Ocupan cinco megabytes y la conexión no es muy rápida. Paciencia.
  • Alberto Ibort y Miguel Ángel Rodríguez. Notas de Álgebra Lineal. Julio de 2003.
    Son unas notas de unas 250 páginas escritas para la asignatura de Álgebra Lineal de la Facultad de Física de la Universidad Complutense de Madrid. Las últimas 70 páginas contienen los enunciados de más de 260 problemas junto a sus soluciones (sólo el resultado final).
  Todos ellos están en formato PDF. Si no os gustan, buscad otros. Y si encontrais algo interesante, decídmelo.
• Libros normales. Algunas opciones dentro de esta categoría son:
  • M. Castellet e I. Llerena, Àlgebra Lineal i Geometria. Col. Manuals de la UAB. Edicions UAB, 1988.
  • F. Puerta, Àlgebra Lineal I. Col. Aula ETSEIB. Edicions UPC, 1995.
  Si pensamos en las matemáticas en general, cualquier alumno de ingeniería encontrará interesante el recetario:
  • M. R. Spiegel, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada. Serie de Compendios Schaum. Ed. McGraw Hill.

Consejos

• Asiste a clase. Lo siento, pero tenía que decirlo.
• Mira por encima lo que se va a explicar en teoría antes de cada clase. Intenta ir a las clases de problemas con los problemas hechos o al menos pensados. La programación está para eso.
• Intenta tomar unos apuntes fiables y útiles. No es fácil.
• Las horas de consulta están para ayudarte. Ven a verme cuando no entiendas algo, especialmente si en clase he dicho que era importante. Y no esperes al final del curso.
• La utilidad de las academias es dudosa. Creo que no se aprende a pensar, sino a copiar.
• Algunos ex-alumnos me han comentado que estudiar en las salas de estudio es poco productivo: demasiadas distracciones. Mejor en casa o en la biblioteca.
• El test parcial suele ir mal. No desesperes. Piensa que es recuperable.
• Mira las recopilaciones arriba mencionadas con los exámenes y tests de los últimos cursos e intenta resolverlos. Ya sabes, conoce al enemigo.
• Cada alumno tiene un profesor tutor que le ayudará a resolver los problemas que puedan surgir. Al empezar el cuatrimestre se os convocará a una reunión con él.
• Los alumnos experimentados de la Delegació d'Estudiants os proporcionarán consejos y ayuda. Pasaos algún día por allí.
• Finalmente, el consejo más importante es: haz tantos problemas como puedas. Pero ojo, teneis que hacerlos vosotros, no copiar mientras otro los hace.

Soluciones

Programación del grupo 12 (problemas)

1. [Sep 13] Complejos/1: Forma exponencial. Potencias y raíces.
2. [Sep 18] Complejos/2: Problemas 1, 2, 4 y 7.
3. [Sep 20] Complejos/3: Problemas 5, 6, 9 y 11.
4. [Sep 25] Polinomios/1: Primeras definiciones. División entera. Problema 10.
5. [Sep 27] Polinomios/2: MCD y MCM. Problema 7.
6. [Oct 02] Polinomios/3: Raíces de un polinomio. Problemas 4, 8 y 2.
7. [Oct 04] Polinomios/4: Polinomios irreducibles. Problemas 3, 11 y 5.
8. [Oct 09] Polinomios/5: Más sobre polinomios irreducibles. Problemas 1, 13 y 15.
9. [Oct 11] Primera prueba de evaluación continuada.
10. [Oct 16] Espacios Vectoriales/1: Introducción. Diversos apartados de los problemas 2, 3 y 4.
11. [Oct 18] Espacios Vectoriales/2: Problemas 7 y 8.
12. [Oct 23] Espacios Vectoriales/3: Problemas 11, 13 y 14.
13. [Oct 25] Preparación para el test parcial
14. [Nov 06] Matrices/1: Introducción. Matrices cuadradas. Operaciones con matrices. Rango de una matriz. Sistemas matriciales. El teorema de Rouché.
15. [Nov 08] Matrices/2: El Método de Gauss para resolver sistemas. Problemas 1 y 13.
16. [Nov 13] Matrices/3: Problemas 2, 7 y 14.
17. [Nov 15] Matrices/4: Matrices invertibles. Problema 3 y 13 (de nuevo).
18. [Nov 20] Aplicaciones Lineales/1: Introducción. Problemas 2 y 4.
19. [Nov 22] Aplicaciones Lineales/2: Problemas 3, 8 y 5.
20. [Nov 27] Aplicaciones Lineales/3: Problemas 7, 9 y 12.
21. [Nov 29] Aplicaciones Lineales/4: Problemas 10 y 13.
22. [Dic 04] Aplicaciones Lineales/5: Problemas 14, 27 y 28.
23. [Dic 11] Segunda prueba de evaluación continuada.
24. [Dic 13] Diagonalización/1: Introducción. Problemas 1 y 2.
25. [Dic 18] Diagonalización/2: Problemas 3, 5 y 17.
26. [Dic 20] Diagonalización/3: Problemas 8, 10 y 15.